Приложения
464

КНИГА ПЕРВАЯ

1. Во введении, которое Птолемей предпосылает книге I «Альмагеста», излагаются философские и методологические принципы, лежащие в основе его астрономической системы. Птолемей определяет место математической астрономии в системе наук. В своих философских рассуждениях и построениях он опирается на философию Аристотеля. Следуя ей, Птолемей приводит и «классификацию наук», в основе которой — философия, подразделяемая на теоретическую и практическую. Теоретическая философия в свою очередь подразделяется на теологию, физику и математику. Именно математика, согласно Птолемею, «дает прочное и надежное знание». Поэтому применение математических методов (арифметического и геометрического) составляет надежную опору остальных двух разделов теоретической философии. Это философское введение подробно рассмотрено Ф.Боллем [Boll, 1894, S.68 и сл.] и О.Педерсеном [SA, р.26-32].

2.  Посвящение «Сиру» (SuroV)    встречается в нескольких сочинениях Птолемея (с.431). До сих пор, однако, не удалось установить, о ком конкретно идет речь. Сир — имя, достаточно распространенное в Египте эпохи позднего эллинизма и Римской империи  [Toomer, 1975, р. 187; Boll, 1894, р.67].

3.  Это не вполне   ясное место Дж.Тумер переводит   иначе: «Даже если практическая  философия,  прежде чем она становится  практической,  оказывается теоретической  (Even if practical philosophy, before it is practical,  turns out to be theoretical). По  мнению  Дж.Тумера,   Птолемей  здесь хочет  сказать, что  началу практической деятельности должны предшествовать какие-то теоретические представления, даже если они носят интуитивный характер [РА, р.35, п.6].

4. Аристотель. Метафизика, VI, 1, 1026а 18-33.

5. «Эфирный»  (aiqerwdhV).     Понятие эфира  как  отдельного  «элемента»  ввел Аристотель. До него философы отождествляли эфир то с воздухом (Эмпедокл), то с огнем  (Анаксагор). Аристотель видит в нем универсальный «элемент» высшего, «надлунного»   мира, тончайший и однородный,   т.е. состоящий из мельчайших однородных   частиц (буквально «подобочастный»)   и в силу этого обладающий принципиально иными свойствами, чем четыре элемента «подлунного» мира: земля, вода, воздух и огонь. Согласно Аристотелю, эфир — особый вид материи: вечный, не возникающий и не исчезающий, в отличие от четырех элементов «подлунного» мира, подверженных возникновению и гибели, поскольку они могут переходить друг в друга, а также претерпевать изменения в своем движении. Эфир же — категория непреходящая. Частицы эфира   заполняют все высшие, «надлунные»   сферы. К эфирным телам Аристотель   относит и все небесные   светила как «вечные и нетленные». Именно эти качества эфира определяют и круговые движения светил — вечные и неизменные [Аристотель. О небе, I, 2-4; II, 7].

6. Наклонным кругом (loxoV kukloV),    т.е. кругом,  наклонным к небесному экватору, Птолемей называет эклиптику.

7.  Здесь Птолемей кратко формулирует основные положения своей геоцентрической системы: Земля (низший мир) сферична и расположена в центре Вселенной. Небо (высший мир) также сферично и окружает Землю, которую в сравнении со сферой неподвижных звезд можно принять за точку. Движение небесной сферы круговое и равномерное. Далее подробно рассматривается каждое из этих положений.

У Аристотеля отсутствует теория пространства в современном понимании слова. Ее заменяет понятие «места» — границы объемлющей тело материальной среды. Протяженность в пространстве трактуется как непрерывная последовательность «мест» — объемов, последовательно занимаемых телом в процессе движения. Любое движение есть изменение «места». Когда Птолемей говорит о движении, изменяющем место (в переводе Дж.Тумера — «от места к месту»), он, по всей вероятности, имеет в виду аристотелевскую концепцию движения как последовательности занимаемых телом «мест». Для Земли — неподвижного центра Вселенной — такое «изменение», согласно Птолемею, невозможно.

8. Согласно Теону Александрийскому, такого рода представления высказывались последователями философии Эпикура [Rome, 1936, p.338]; см. в этой связи также [Фрагменты, Ксенофан, 41а], а также [РА, р.38, п.22].
 
Комментарии к книге первой
465

9. Здесь Птолемей,  по-видимому,  имеет в виду точку зрения,  защищавшуюся Ксенофаном  из   Колофона (ок. 570-475 до  н.э.)   и  Эпикуром (342-271 до  н.э.), которую   позже Теон Александрийский приписывал   Гераклиту [Фрагменты, Ксенофан, 32, 33, 38, 41; Rome, 1936, р.340; РА, р.39, п.23].

10.  Птолемей упоминает здесь о хорошо известном в астрономии явлении: Солнце и Луна кажутся больше вблизи горизонта. Объяснение Птолемея,  приведенное в «Альмагесте»,  неверно.    В  действительности  увеличения    размеров  светил  не происходит;   это  явление  имеет  чисти  психологическую  основу.   В  более  позднем своем труде, «Оптике» (III, 60), он приводит правильное объяснение [Lejeune, 1956, р. 116; РА, р.39, п.24].

11. Птолемей  рассматривает  круг как  многоугольник  с  бесконечным  числом вершин, а сферу — как аналогичный многогранник с бесконечным числом граней Упоминаемые выше положения о том, что площадь круга больше площади любого многоугольника   того же периметра, и аналогичное   утверждение для шара  и многогранника   доказаны Зенодором (II в.   до н.э.) в его  сочинении   «Об  изопериметрических фигурах» [История математики, 1970, с. 139]. Трактат Зенодора известен в изложении Теона Александрийского и Паппа Александрийского. См. по данному вопросу [Heath, 1921, II, р.207-213; Rome, 1936, р.355-379; Toomer, 1972]

12. Буквально «состоящий из частиц, подобных друг другу». См. коммент. 5.

13. Говоря о «Земле, взятой в целом»,  Птолемей имеет в виду, что высота гор и возвышенностей, глубиной впадин и т.д. можно пренебречь в сравнении с ее радиусом.

14.  Основной довод   Птолемея при доказательстве сферичности   Земли — неодновременность восходов и заходов одних и тех же светил для наблюдателей точках с разными географическими долготами. То же самое касается наблюдений моментов лунных  затмений.  О солнечных затмениях  речь не  идет,  так  как  их труднее   наблюдать вследствие наличия параллакса.    Птолемей  почему-то  не упоминает здесь об основном и наиболее наглядном доводе Аристотеля в пользу сферичности Земли — во время лунного затмения тень Земли на поверхности Лун] имеет форму кругового сегмента  [Аристотель. О небе, II, 14, 297b 24-31].

15. Очевидно  среди «некоторых»,   упоминаемых Птолемеем, имеется в   вид Анаксимандр. Согласно Анаксимандру, Земля имеет форму цилиндра, высота которог равна одной трети его поперечника. Этот цилиндр неподвижно висит в пространстве ни на что не опираясь, так как находится на одинаковом расстоянии от всех точек «периферии» [Рожанский, 1979, с. 139; Фрагменты, Анаксимандр,  11, 25; Tannerу 1893, р.95-96].

16. О «прямой» и «наклонной» сферах см. коммент. 15 к кн. II

17. Равноденственный круг — небесный экватор. См. коммент. 29.

18. Круг «через середину зодиака»     (o dia meswn twn zwdiwn) — еще одно, причем часто используемое в «Альмагесте», название для эклиптики. Далее речь идет   о знаках зодиака, которые   Птолемей называет просто «12-я   (часть) (dwdekathmorin),      вместо общепринятого греческого  zwdion, буквально «животное изображение  (животного)»,    желая таким образом,  по-видимому,    подчеркнут различие между эклиптикой как кругом на небесной сфере и зодиаком как полосе созвездий  [РА, р.20ю21].

19.  Гномон — вертикальный шест, установленный на горизонтальной поверхности и  предназначенный  для  определения  высоты  и  азимута  Солнца. Наблюдения с помощью   гномона основаны на измерении   в разное время дня величины направления  его тени,  отбрасываемой на шкалу у  его основания.  Тень гномона движется по плоскости его основания и описывает кривые, представляющие собой конические сечения — линии пересечения этой плоскости и наклонного кругового конуса (эллипс, в  частном случае круг,  гипербола  и парабола). Вершина этого конуса есть вершина гномона, а основание — круг видимого суточного движени Солнца на небесной сфере.

20. В доказательстве того, что Земля должна находиться в центре Вселенной Птолемей исходит из  обратного,  показывая,  что любое ее положение  вн этого центра противоречит наблюдениям.
 
Приложения
466

Птолемей рассматривает несколько возможностей. 1) Земля располагается не в центре Вселенной, а смещена относительно оси северююг, оставаясь при этом в плоскости небесного экватора. В этом случае на земном экваторе день и ночь не будут равны по продолжительности, а на других широтах равноденствия либо совсем не будут наблюдаться, либо не будут приходиться на середины интервалов между солнцестояниями, но это противоречит данным наблюдений. 2) Земля располагается на оси северююг, но не в центре Вселенной, а ближе к одному из полюсов. 3) Земля располагается вне центра Вселенной и вне оси северююг, на произвольном расстоянии от полюсов. Оба эти предположения также противоречат данным наблюдений.

Наконец, последний довод Птолемея: лунные затмения. Они имеют место, когда Земля, Луна и Солнце находятся на одной прямой, соединяющей диаметрально противоположные точки эклиптики. Но если Земля смещена относительно центра Вселенной, затмения будут иметь место, когда это последнее условие нарушается, что противоречит наблюдениям.

21.  Сфера неподвижных звезд — последняя, внешняя по отношению к окружающим неподвижную Землю сферам Луны, Солнца и пяти планет, на которой согласно модели   Птолемея располагались звезды. Птолемей   употребляет здесь выражение «так называемые»,   поскольку сфера неподвижных звезд,    помимо суточного, совершает еще прецессионное движение параллельно эклиптике.

22. Об армиллярной сфере см. кн.V, гл.1 и соответствующие комментарии.

23.  Вследствие малости   радиуса Земли по сравнению   с радиусом сферы неподвижных звезд суточный параллакс звезды, т.е. угол, под которым с орбиты неподвижных звезд виден радиус Земли, практически равен нулю. А это означает, что наблюдения неподвижных звезд, выполненные с поверхности Земли, дадут тот же результат, как если бы они проводились из ее геометрического центра. О суточном  параллаксе в  явном виде Птолемей в  «Альмагесте» не упоминает.   Однако понятие лунного параллакса играет   у него весьма существенную   роль при определении расстояний до Луны и Солнца, а также в теории солнечных затмений.

24.  Словом      «стремление»    И.Н.Веселовский     переводит греческий термин prosneusiV,   (от  глагола  «стремиться,  тянуться»).  В  аристотелевской  физике  этот термин не применялся, хотя само понятие «стремления» ю одна из основ динамики Аристотеля. Он широко оперирует им и в «Метафизике», и в трактате «О небе». Под «стремлением» понималась   некая «способность», тенденция к   совершению действия. В соответствии с характером ее проявления Аристотель оперирует двумя понятиями. «Стремление» может быть присуще самому телу; это — «естественное стремление»  (roph).    Но оно может быть и внешней причиной, толкающей тело, побуждающей  его  к  некоторому  действию.  Это — насильственное «стремление» (dunamiV). «Естественное стремление» проявляется, например, в свободном падении тела ю его движении к центру Земли, «насильственное стремление» — при движении тела по горизонтальной плоскости или под углом к горизонту.  Судя по смыслу текста Птолемея, его термин prosneusiV соответствует аристотелевскому roph  (см. также [РА, р.43, п.38]). Термин prosneusiV употребляется в «Альмагесте» и в других значениях (см. кн. V, гл.5, коммент. 20; кн.VI, гл.11, коммент. 124).

25. В соответствии с понятием  «стремления» Аристотель различает два вида движения: «естественное» и «насильственное». Источник «естественного движения» — «естественное стремление» как неотъемлемое свойство самого тела. «Насильственное движение» происходит благодаря вмешательству некоей внешней причины движения — «насильственного стремления», связанного обычно с величиной мускульной «силы»,  приложенной к телу,  которая и поддерживает движение.  Если же тело отрывается от источника движения,  «насильственное стремление» передается ему последовательно через промежуточную среду. «Естественное движение» происходит без всякого вмешательства извне. В небесах, где все вечно, неизменно, совершенно и неограниченно, неограниченно и совершенно и «естественное движение», равномерное и круговое. В земных условиях, где все преходяще и имеет начало и конец, «естественное движение» должно быть прямолинейным. В «естественном» движении тело стремится к своему «естественному» месту. Для тяжелых тел это центр Земли,
 
Комментарии к книге первой
467

для легких — самая легкая стихия — огонь, т.е. окружающая Землю огненная сфера  [Аристотель. О небе, II, 13-14; III, 2; IV, 3].

26.  В своем   доказательстве отсутствия поступательного   движения у Земли Птолемей исходит из рассмотренной выше концепции «естественного движения» и «естественного  места».  Основа  его доказательства  — направление «естественного движения» — падения любого тяжелого тела. Оно происходит по направлению к центру Земли, образующему прямой угол с касательной плоскостью, проведенной в точке падения. А так как каждое тяжелое тело или частица может иметь только одно «естественное движение»,  и оно направлено к центру Мира,  т.е. к центру Земли, если придерживаться геоцентрической гипотезы, следовательно Земля в целом не может иметь «стремления» к какому-либо движению в сторону. Касаясь понятия «верха» и «низа», Птолемей следует Платону и Аристотелю. Согласно Платону, все тяжелые тела (земля, вода и те субстанции, в которых эти элементы преобладают) устремляются по своей природе к центру космоса.  Поэтому его следует считать «низом» в собственном смысле слова. Напротив, легкие тела (огонь, воздух и то, что из них состоит) стремятся двигаться из центра космоса к его периферии. Поэтому «верхом» следует считать периферию космоса [Рожанский, 1979, с.259-261].

Птолемей приводит еще один аргумент в пользу неподвижности Земли, основанный на физических соображениях, связанных с представлением о давлении, которое Земля испытывает со стороны падающих нее тел. Это давление в любой точке поверхности Земли равно и противоположно по направлению давлению в противоположной точке. Все это не дает Земле возможности двигаться. В этом рассуждении Птолемей, как мы видим, отходит от аристотелевской концепции «естественного места» и «естественного движения», а также представления об эфире как материи, заполняющей все пространство «надлунного мира». Ведь эфир может совершать только вращательное движение и не оказывает никакого давления на другие тела, в том числе и на Землю. Согласно Симпликию, Птолемей более подробно излагает эту точку зрения в не дошедшем до нас трактате о весах [SA, р.44, п.7].

27.  По-видимому, Птолемей   имеет  в виду ученика Платона   ю Гераклида Понтийского (388-315 до н.э.), предположившего, что Земля имеет вращение вокруг своей оси, а также автора первой гелиоцентрической гипотезы Аристарха Самосского (ок. 310-230 до н.э.).

28. Под двумя видами первых движений Птолемей имеет в виду следующие: 1) суточное движение небесной сферы с востока на запад, обусловленное движением Земли параллельно небесному экватору; 2) движение Солнца, Луны и планет вдоль эклиптики с запада на восток с различными скоростями.

29. Равноденственный круг (ishmerinoV kukloV),  буквально «круг равного дня» — небесный  экватор. Название  это  ооъясняется тем,  что когда Солнце  при  своем движении по эклиптике (наклонному кругу) оказывается на небесном экваторе, то имеет место равенство дня и ночи.

30.  «Серединой неба»   Птолемей называет небесный меридиан.   Другое его название — полуденный круг  (meshmbrinoV kukloV)  (см, с. 15). Кульминацию светила, т.е. его прохождение через меридиан, греческие астрономы называли «прохождением через середину неба» (mesouranhsiV или mesouranein).

31. Блуждающими светилами  (planhta astra)  в греческой астрономии называли планеты — светила, перемещающиеся по небесной сфере относительно неподвижных звезд.

32.  Речь идет об эклиптике — наклонном к небесному экватору большом круге небесной сферы, вдоль которого совершается видимое движение Солнца. Возле нее пролегают также видимые пути Луны и планет. См. коммент.  18.

33.  Это точки зимнего и летнего солнцестояний.

34.  Этот круг носит название колюра солнцестояний.

35. Под «прямыми линиями в круге»  (euqeia)  Птолемей подразумевает хорды.

36.  В гл.10 излагаются основы античной тригонометрии, создание которой древние приписывали «отцу греческой астрономии» Гиппарху (ок. 180-125 до н.э.). Он ввел в рассмотрение тригонометрический круг и, по-видимому, впервые вычислил таблицу
 
Приложения
468

хорд, ставшую основным элементом греческой плоской тригонометрии [Braunmuhl, I, S.10]. В круге радиуса r для хорды, стягивающей дугу центрального угла a, справедливо соотношение

      Crd a = 2r sin (a/2).

Таким образом, таблица хорд равносильна таблице синусов половинного угла. С помощью этой таблицы Гиппарх получил решение прямоугольных треугольников и применил тригонометрические методы при разработке своей теории движения Солнца и Луны.

В современной историко-научной литературе приняты обозначения crd a, если радиус круга равен 1, и Crd a, если радиус R = 60. Птолемей использовал всегда значения Crd a, но в примечаниях мы будем использовать также нередко более привычную нам систему обозначений.
Сочинение Гиппарха, в котором он излагает основы тригонометрии хорд, до нас не дошло. О нем упоминает, не приводя, впрочем, его названия, Теон Александрийский (IV в.), который сообщает, что оно состояло из двенадцати книг [Braunmuhl, I, S.10; Rome, 1936, р.451 ].

Делаются попытки реконструировать таблицу хорд Гиппарха. Одна из них принадлежит Дж.Тумеру, который показал, что некоторые сообщения Птолемея о методах, которые применял Гиппарх при расчете радиуса эпицикла и эксцентриситета лунной орбиты (Альм. IV, 11), можно понять лишь в том случае, если предположить, что Гиппарх использовал таблицу хорд, подобную таблицам синусов средневековых индийских астрономов. Значения хорд в ней были вычислены с интервалом в 71/2° значений аргумента (в индийских таблицах синусов соответственно 33/4°), а радиус круга считался равным 3438'. См. [Toomer, 1973, р.6], возражения против его реконструкции [Waerden, 1988(1), р.27; 1988(2), р. 178-183], а также коммент. 66 к кн.IV.

37. В таблице приводятся значения хорд от 1/2° до 180° через каждые 1/2°. Для их вычисления Птолемей делит окружность на 360 равных частей (moira), измеряя, таким образом, углы в градусах. Диаметр круга d делится на 120 частей (part, сокращенно р); и в этих частях выражаются хорды в таблице. Такой круг с радиусом в 60 частей (60Р) является единичным в шестидесятеричной системе счисления, которой пользуется Птолемей. Каждая часть делится на 60 линейных минут, каждая минута — на 60 секунд, каждая секунда — на 60 терций и т.д. Это дает возможность при вычислении пользоваться шестидесятеричными дробями.

В «Альмагесте» Птолемей использует десятично-шестидесятиричную систему записи чисел. Целые части чисел он всегда приводит в десятичной записи, а дробные, как правило, в виде шестидесятиричной дроби. В настоящем издании в тексте перевода и в комментариях при записи чисел используется система обозначений, принятая среди историков астрономии; в ней целая часть числа отделяется от дробной точкой с запятой, а каждый последующий разряд шестидесятиричной дроби от предыдущего — запятой. Например, запись 365; 14,48 означает число

      365+14/60+48/602

А запись 0;59,8,17,13,12,31 — число

      59/60+8/602+17/603+13/604+12/605+31/606

Птолемей также широко использует простые дроби. Можно выделить при этом несколько основных простых дробей (1/3, 1/2, 1/4, 1/8, 1/12 и др.), которые он использует для выражения дробей более сложного вида. Например, в его записи 3/4 = 1/2 + 1/4, 11/12 = 1/2 + 1/3 + 1/12, 5/6 = 1/2 + 1/3 и т.д. Такого рода «сложные» простые дроби фиксируются в тексте перевода как 1/21/4, 1/21/31/12, 1/21/3 соответственно.
 
Комментарии к книге первой
469

38. Рисунки Птолемея приводятся в том виде, в котором они даны в издании И.Гейберга, без модернизации.   В  тексте  Птолемея  рисунки не   пронумерованы. Нумерация, которой пользуемся мы, введена Дж.Тумером в  [РА]: первое число в ней обозначает номер книги, второе — номер рисунка в книге. Номера рисунков внесены в квадратных скобках в текст перевода там, где это необходимо.

39. Две  сформулированные теоремы  позволяют выразить  стороны  правильных пяти- и десятиугольника, стягивающих соответственно дуги в 72° и 36°, через радиус круга,   в  который  они  вписаны.  Эти  теоремы  в  «Началах»  Евклида  отсутствуют. При доказательстве Птолемей опирается на предложения 9 и 10 книги XIII «Начал». В первом из них Евклид исходит из представления о делении отрезка в крайнем и среднем отношении. Некоторая точка делит отрезок прямой в крайнем и среднем отношении,   если  длина  всего отрезка  относится  к  большей  его  части, как  эта большая часть к меньшей.  Пусть на рис.  1.1 линия ZG разделена в точке D в крайнем и среднем отношении. Тогда предложение 9 сводится к тому,  что если сложить длины сторон десятиугольника и шестиугольника, вписанных в один и тот же круг (на рис. 1.1 отрезки ZD и DG), то вся линия ZG в точке D разделится в крайнем и среднем отношении. Предложение 10 состоит в том, что квадрат стороны правильного вписанного в круг пятиугольника равен произведению сторон правильных вписанных   в круг шестиугольника и   десятиугольника,  т.е.  на   рис. 1.1 GZ·ZD = DG2 [Евклид, XIII, 9, 10].

40.  Из геометрических соображений ясно, что Crd 90° = 21/2 r, a Crd 120° = 31/2 r.
Отсюда при r = 60p следует Crd 90° = 84;51,10p, Crd 120° = 103:55,23p.

41. Хорды углов 36, 60, 72, 90 и 120° Птолемей называет «основными». С их помощью он определяет   хорды дополнительных углов,  пользуясь   очевидным соотношением Crd2a+Crd2(180°-a) = d2, равносильным  современному sin2a + cos2a = 1. Так, по известной хорде 36° он получает Crd 144° = 114;7,87p.
 
42. Эта лемма впоследствии получила название теоремы Птолемея.  В лемме утверждается, что если в   круг вписан произвольный четырехугольник   ABCD (рис. 1-А), то площадь прямоугольника, образованного его диагоналями АС и BD, равна сумме площадей прямоугольников, образованных противоположными сторонами данного четырехугольника, т.е. АС · BD = АВ · CD + AD · ВС.

43. В подобных треугольниках ABD и BGE имеет место пропорция BG: BE  = BD : DA  [Евклид, VI, 4].
 
44. Птолемей утверждает, что если во вписанном в круг четырехугольнике ABCD (рис. 1-В) сторона AD есть диаметр круга, а хорды АВ и АС известны, то, как показано, будут известны хорды дополнительных дуг BD и CD, а тогда можно определить   и хорду ВС.  Действительно, на основании предыдущей леммы BC=(AC·BD-AB·CD)/ AD. При этом ВС есть хорда разности дуг BD и CD. Если положить АОС = 2a, АОВ = 2b, r = 1, то ясно, что получено выражение, равносильное формуле sin (a - b) = sin a cos b - cos a sin b. Отсюда, Исходя из значений двух известных хорд 72° и 60°, можно найти, например, значение хорды
Приложения
470

12°. Птолемей отмечает, что таким образом, т.е. при помощи значений разностей заданных основных хорд, можно определить немалое число значений других хорд.
 
45. Птолемей приводит метод определения хорды дуги, равной половине заданной дуги. Если АС — диаметр (рис. 1-С), ВС — данная дуга, CD — ее половина, то, проведя хорды АВ, AD, BD, DC и опустив из D перпендикуляр DE, он показывает, что искомая хорда есть DC2  = АС·(АС - АВ)/2. Это соотношение дает возможность по известным основным хордам определить многие другие.

46. Доказано,  что если известны хорды двух дуг, то известна и хорда дуги, равная их сумме.  Соотношение Птолемея равносильно современной формуле для синуса суммы дуг или углов

  sin(a+b) = sin a  cos b + cos a sin b.

47.  Таким образом, получив значения основных хорд (для дуг в 36, 60, 72, 90 и 120°), а также правила вычисления хорды суммы и разности двух дуг и хорды половинного угла или дуги, Птолемей смог получить большинство значений своей таблицы.  Однако   вычисление хорды  1/2°,   значение которой необходимо для вычисления таблицы хорд через 1/2°, требовало дополнительных рассуждений. Дело в том, что искомый результат мог быть получен путем деления на три части угла в  11/2°. Однако задача трисекции угла, относящаяся к трем знаменитым задачам древности  и  приводящая к решению кубического  уравнения,  представляла собой непреодолимую трудность и не могла быть решена методами евклидовой геометрии (с помощью циркуля и линейки). Попытки ее решения привели к разработке целого ряда  приближенных  методов, как  алгебраических,   так  и  геометрических: метод «вставки» и др. См., например,  [Рыбников, 1974, с.32-34].

К приближенному методу прибегает и Птолемей. Утверждая, что с помощью геометрии невозможно точно вычислить значение хорды дуги в 11/2°, он предлагает иной путь. Сначала Птолемей приближенно вычисляет значение хорды 1°. Он находит ее как промежуточное значение между уже известными значениями хорд 11/2° и 3/4°, т.е. между 1;34,15Р и 0;47,8Р. Затем по полученному значению хорды 1° с помощью соотношения для хорды дуги половинного угла он находит приближенное значение хорды 1/2°.

48. «Композиция» или «присоединение отношений» означает переход от отношения a/b к отношению (a +b)/b [Евклид, V, 14].

Птолемей пользуется этим понятием при переходе от отношения ZE/EA в неравенстве ZE/EA<ZD^E/ED^  к отношению (ZE+EA)/EA в неравенстве (ZE+EA)/EA<(ZD^E+ED^A)/ED^A
ЕА  (см. рис. 1.6).

49. «Выделение отношения» — переход от отношения a/b при a > b к отношению (a-b)/b [Евклид, V, 15].

Птолемей пользуется «выделением отношения» при переходе от отношения GA/AE в неравенстве GA/AE<GD^A/ED^  к отношению (GA-AE)/EA в неравенстве (GA-AE)/EA<(ZD^A-ED^A)/ED^A.

50.  Здесь Птолемей опирается на теорему о свойстве биссектрисы треугольника, которая рассекает противолежащую этому углу сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим к  нему сторонам   [Евклид,  VI,  3].  Птолемей пользуется этим свойством биссектрисы угла при рассмотрении треугольника ABG с биссектрисой BE, где GE:EA = GB:BA (рис. 1.6).

51. Вычисление  хорды дуги  в  1°  Птолемей  проводит, отправляясь  от сформулированной и доказанной им теоремы, смысл которой состоит в следующем. Если в круге взять две произвольные дуги AB = 2a и AG=2b  (рис. 1.7), то справедливо
 
Комментарии к книге первой
471

соотношение AB/AG<AUB/AUG или crd 2a/crd 2b<2a/2b    (2b< 2a < p),  что равносильно соотношению  sin a/sin b<a / b         (b< a < p/2).  Пусть AUB = 3/4°, AUG = 1°. Тогда приведенное выше неравенство дает crd  1° /crd 3/4° < 1° / 3/4° = 4/3, откуда следует, что crd  1° < 4/3 crd 3 /4°. Пусть теперь AUB = 1°, AUG = 11/2°. Согласно той же теореме AB/AG>crd  1° /crd  11/2° > 1 / 3/2
или crd  1° > 2/3 crd  11/2°. Отсюда следует, что значение хорды 1° заключено в пределах 2/3 crd 11/2° < crd 1° < 4/3 crd 3/4°, или 2/3 · 1;34,15Р < crd 1° < 4/3·0;47,8Р. Проведя вычисления, получим, что 1;2,50Р < crd 1° < 1;2,50Р, т.е. хорда 1°= 1;2,50Р, а хорда 1/2°, вычисленная по правилу нахождения хорды половинного угла, равна 0;31,25Р.

52.  В таблице хорд Птолемея три столбца. В левом содержатся значения дуг от 1/2° до 180°, через каждые 1/2°. В следующем столбце приводятся длины хорд для соответствующих дуг,   значения  которых даны  в  шестидесятеричных дробях  при условии, что диаметр круга содержит всего 120 частей. Наконец, третий столбец служит для интерполяции величины каждой последовательной хорды дуги, меньшей, чем 1/2°. Он содержит значения тридцатых долей разностей длин последующих хорд, т.е. показывает средний прирост длины хорды на одну минуту дуги в соответствующих  пределах. Значения  даны  с  точностью  до  кварт. Будучи  пересчитаны  в десятичную систему счисления, таблицы позволяют вычислять хорды дуг с точностью до пятого десятичного знака.

Таблица хорд Птолемея была пересчитана с помощью компьютера. Программа была составлена так, чтобы как можно ближе воспроизвести метод вычисления самого Птолемея [Glowatski, Gottsche, 1976; PA, p.57-58, n.68]. Авторы ее пришли к выводу, что для того, чтобы получить точный результат до третьего шестидесятеричного знака, Птолемей должен был производить вычисления до пятого знака.

В настоящем издании ряд значений в таблице хорд Птолемея исправлены в соответствии с изданием Дж.Тумера. Исправлению подверглись значения Crd 9°, Crd 72°, Crd 88 1/2°, Crd 97°, Crd 108°, Crd 118 1/2°, Crd 143° [PA, p.57-59, n.68].

53. В гл.12 Птолемей определяет угол наклона эклиптики к экватору.  Пусть Р, Р' — полюсы мира (рис. 1-D), QYQ' Lib — небесный экватор, R, R' — полюсы эклиптики, KYK' Lib — эклиптика, Y — точка весеннего равноденствия. Большой круг небесной сферы RPQR'P'Q, проходящий через полюсы небесного экватора и эклиптики, называется колюром солнцестояний, а лежащие на нем точки эклиптики — соответственно точками летнего и зимнего солнцестояний.
Определяется значение дуги RP, которая, очевидно, равна дугам KQ и K'Q', измеряющим e — угол наклона эклиптики к экватору.

54.    Инструмент, с помощью которого Птолемей производил измерение угла наклона эклиптики к экватору, известен в современной литературе под названием меридианного круга   или меридианнной армиллы. В дошедшем до нас греческом тексте «Альмагеста» не приводятся изображения инструментов Птолемея. Реконструкция меридианного круга, представленная на рис. 1-Е, принадлежит С.В.Житомирскому. Описание, чертежи и объяснение действия
 
Приложения
472

этого инструмента см. также [Britton, 1967, р.5; Dicks, 1954, р.78-79; НА I, 41; PA, p.61, Fig.C; Price, 1957, р.589]. Определив с помощью инструмента зенитное расстояние Солнца в дни летнего и зимнего солнцестояний, легко вычислить значение е. См. также коммент. 57.

55. Второй  инструмент,   описанный Птолемеем, представляет  собой   квадрант. Рис. 1-F выполнен С.В.Житомирским.   Рабочую плоскость инструмента Птолемей называет «призмой». Планка 5 способствовала увеличению резкости тени. Квадрант устанавливается в плоскости меридиана таким образом, чтобы сторона со стержнем, отбрасывающим тень, была обращена к югу. Во время прохождения Солнца через меридиан на шкале фиксировалось   минимальное зенитное расстояние. Другие изображения инструмента и описание его действия см. в источниках, указанных в коммент. 51.

56.  Полуденная линия — линия пересечения плоскости меридиана (полуденного круга) с плоскостью горизонта.

57. Метод Птолемея основан на определении зенитного расстояния Солнца в меридиане во время летнего и зимнего солнцестояний. Если эти зенитные расстояния обозначить соответственно z1 и z2, то широта места f = (z1 + z2)/2, наклон эклиптики e = (z1 - z2)/2.

58.  Птолемей использует в «Альмагесте» значение e = 23;51,20°, полученное, по его собственным словам, с помощью описанных выше измерений, производившихся «в течение многих лет во время солнцеворотов». Согласно Птолемею, измеренная им  величина  содержится  между  указанными  в  тексте  пределами  472/3° < 2e < 47 3/4°, откуда e = 23;51,20°. Его измерения относятся приблизительно к 140 г. н.э. Однако история определения величины е восходит к более раннему времени, как об этом сообщает сам Птолемей, ссылаясь на Эратосфена и Гиппарха. Об этом же сообщает  Страбон  в  своей  «Географии» (II, 5, 7)   [Страбон, 1964, с.115-116]. Согласно Страбону,  именно Эратосфен разделил земной меридиан на шестьдесят частей и, соответственно,  каждый квадрант от экватора до полюса  на  15 таких частей, так что расстояние от земного экватора до тропика Рака содержит четыре такие  части. В силу  эквивалентности  земного шара  и  небесной сферы, считал Эратосфен, величина наклона эклиптики эквивалентна  дуговому   расстоянию  от экватора до тропика Рака, т.е. составляет 1/15 часть круга, или 24°. Это наиболее раннее известное греческое  значение величины е.  Страбон сообщает также,  что Эратосфен предпринял попытку выразить это значение в линейных мерах. Именно ему   принадлежит, очевидно, первая в   истории географии попытка вычисления величины градуса земного меридиана   и окружности земного шара.   Величина окружности Земли у него равна 252 000 стадий, а расстояние от экватора до тропика Рака (до города Сиены — современного Асуана) составляет 1/15 часть окружности, т.е. 252000:360=16800 стадий. Однако уже в эпоху Эратосфена и Гиппарха было известно, что величина наклона эклиптики меньше 24°. Гиппарх при определении е, вероятно, исходил из значения продолжительности наибольшего дня для Сиены, которая составляет 13 1/2 часа. Если исходить из этой величины, то можно реконструировать следующий метод его определения величины e.

        Пусть на рис. 1-G  ЕС — небесный экватор, SCZPN — меридиан, SERN ю горизонт, Z — зенит, Р — полюс мира, TR — суточный круг Солнца во время летнего солнцестояния, если Солнце восходит в точке R. Тогда g = ED — половина избытка наибольшего дня для широты  Сиены над 12 равноденственными часами, измеренная в градусах, т.е. (15°M - 180°)/2, где M — продолжительность наибольшего дня. Эта величина легко определяется в прямоугольном сферическом треугольнике EDR с прямым углом D, sin g = tg f tg e.  Так    как  для  Сиены  М =  13 1/2h, g =  11;15°  и f = e,    то sin 11; 15° = tg 2e, откуда e = 23;49,50° — значение, близкое к птолемеевскому.
 
Комментарии к книге первой
473

Гиппарх, возможно, получил y, пользуясь методом аналеммы, т.е. принятым в античной астрономии приемом ортогонального проектирования небесной сферы и ее основных кругов на одну из координатных плоскостей (в данном случае на плоскость горизонта, в которой был установлен гномон длины g в Сиене в день летнего солнцестояния). С помощью аналеммы, описанной Витрувием, который называет ее автором Гиппарха, значение е можно получить из соотношения, эквивалентного формуле tg e = s/g [Goldstein, 1983, р.9-10].

Птолемей утверждает, что и Эратосфен, и Гиппарх при вычислении величины е пользовались дробью 11/83, которую полагали равной 2e. Б.Голдстейн предлагает весьма убедительную гипотезу появления этой величины.

Выше мы уже говорили, что согласно Эратосфену расстояние от экватора до тропика Рака составляет 16800 стадий. Это дает для величины e значение, равное 24°. Но Эратосфен, вероятно, знал, что истинное значение е меньше 24°. Значение же 16 800 — приближенное, так как, по утверждению Страбона со ссылкой на наблюдение его предшественников, широты мест, расположенных на одном меридиане на расстоянии менее 400 стадий (около 1/2°  широты) при наблюдении (т.е. определении продолжительности наибольшего дня или отношения длины гномона к его тени) не различаются. Поэтому величину 16 800 правомерно уменьшить до 16 700. А тогда справедливо соотношение

      2e/360=(2 × 16 700)/252 000=167/1260 .

Отсюда приближенное значение величины e можно получить с помощью цепных дробей методом, связанным с алгоритмом Евклида, хорошо известным в античности. С помощью цепной дроби можно получить приближенное значение любого рационального числа вида a/b, быстро сходящееся к истинной величине.

      Представим числитель и знаменатель выражения для 2e/360 в виде

      1260 = 7  ×  167 + 91,
      167 = 1 × 91 + 76,
      91 = 1 × 76 + 15,
      76 ~= 5 × 15.

Тогда выражение 167/1260 можно записать в виде

      167/1260~=1/(7+1/(1+1/(1+1/5)))

Таким образом, число 11/83 получается уже при третьем приближении.

Число 11/83 можно получить и другим путей, если воспользоваться неравенством a/b<(a+c)/(b+d)<c/d при a/b<c/d, которым оперирует   Папп Александрийский в своем «Математическом собрании»  [Pappus, I, р.689].

      Дробь 167/1260 удовлетворяет неравенству

      1/8=2/16<167/1260<2/15 ,

которое можно представить в виде ряда

      1/8<(1+2n)(8+15n)<2/15  при n=1, ..., 6.
 
Приложения
474

Последовательность приближенных  значений для дроби   167/1260 при соответствующих значениях и заключена между 1/8 и 2/15 и имеет вид

      1/8<3/23<7/53<9/68<11/83<13/98< ... <2/15 .

Таким  образом, дробь 11/83  представляет собой  приближенное  значение  дроби 167/1260 при n = 5.

Таковы две гипотезы о происхождении дроби 11/83 в тексте «Альмагеста». Наиболее
вероятно, по мнению Голдстейна, что ее автором является Гиппарх [Goldstein, 1983, р.6-8]. Существуют, однако, и другие гипотезы, касающиеся происхождения указанной величины угла наклона эклиптики к экватору. См. в этой связи [Rawlins, 1982; Ньютон, 1985, с.106-109].

59. Как известно, высота полюса небесного экватора над горизонтом в данном географическом пункте равна его географической широте.

60. Гл.  13 посвящена изложению основ античной сферической тригонометрии. Опираясь на труды по сферике Автолика (IV в. до н.э.), Евклида (ок. 365-300 до н.э.), Теодосия (III в. до н.э.), Гипсикла (II в. до н.э.) и в особенности Менелая (I-II вв.), Птолемей доказал «несколько кратких и очень полезных лемм», которые позволяли решать широкий круг задач сферической астрономии его времени. При доказательстве этих лемм он опирался, главным образом, на знаменитую теорему Менелая,   одного из крупнейших ученых   эпохи эллинизма, автора трудов   по астрономии, математике и механике.

Основной труд Менелая «Сферика» до нас не дошел. Он сохранился только в арабском переводе астронома и математика X-XI вв. Ибн Ирака [Krause, 1936]. В астрономической литературе средневековой Европы ее обычно называли «теоремой о трансверсалях», а на средневековом Востоке «правилом шести величин» или «теоремой о полном четырехстороннике».
Название теоремы Менелая — «правило шести величин» — объясняется следующим образом. Смысл теоремы состоит в том, что между шестью отрезками — хордами в круге или шестью дугами больших кругов сферы, образующих полный плоский или сферический четырехсторонники, существуют определенные соотношения. Теорема Менелая была доказана и для плоского, и для сферического случаев (см. коммент. 61, 66).

В этой же главе доказывается также утверждение о том, что если даны отношения хорд двух дуг, меньших 180°, и их сумма или разность, то можно определить и сами дуги.

61. Здесь речь идет о плоской теореме Менелая. Птолемей приводит ее доказательство.

В основе доказательства ю   фигура,  называемая полным четырехсторонником.   Плоский  полный четырехсторонник  можно получить   из  произвольного четырехугольника,    продолжая до пересечения обе пары его противоположных сторон (рис. 1-Н). В современных обозначениях плоская теорема Менелая имеет вид

      AD/CD · CE/BE · BF/AF = 1,      AD/CA · BC/BE · EF/DF = 1 .

Менелай, Птолемей, а впоследствии математики средневекового Востока формулировали и доказывали эту теорему с помощью евклидовой теории составных отношений. В современной терминологии составное отношение есть произведение двух отношений. Мы говорим, что отношение a/b есть произведение отношений c/d и e/f. Античные же математики говорили, что отношение a/b «составлено» из отношений
 
Комментарии к книге первой
475

c/d  и e/f. В терминологии Птолемея отношение GA/AE составлено из отношении GD/DZ и
ZB/BE, а отношение GE/EA составлено из отношений GZ/ZD и DB/BA  (рис.  1.8).

Понятие составного отношения — одно из основных понятий греческой теории отношений, изложенной в книге V «Начал» Евклида [Евклид, V, 9, 10]. Операция составления отношений равносильна их умножению. Однако у Евклида речь идет только о «двойном» и «тройном» отношениях, т.е. о возведении отношения в квадрат и куб. Общее же определение составного отношения отсутствует. Поэтому позднейшие греческие комментаторы «Начал» были вынуждены дополнить Евклида. Это общее определение добавлено к книге VI «Начал» в качестве определения 6.

В своем доказательстве Птолемей опирается на два предложения книги VI «Начал». В первом из них утверждается, что в равноугольных треугольниках стороны, стягивающие равные углы, пропорциональны. Смысл второго предложения состоит в том, что если в треугольнике проведена прямая, параллельная одной из сторон, то она рассечет остальные стороны на пропорциональные отрезки [Евклид, VI, 2, 4].
 

62. Смысл этого предложения состоит в следующем: если на окружности с центром D (рис. 1-J) взяты произвольные дуги AB и BG, меньшие 180°, и проведена хорда AG, то справедливо соотношение

      Crd 2AB/Crd 2BG = AE/EG

где E — точка пересечения хорды AG с диаметром BD.

При доказательстве этого соотношения Птолемей опирается на предложение 3 книги IV «Начал», смысл которого состоит в следующем: если прямая, проходящая через центр круга, делит другую прямую, не проходящую через него, пополам, то она пересекает ее под прямым углом  [Евклид, IV, 3]. Доказательство проводится с помощью «составления отношений».

63.  Из этой теоремы вытекает одно очень важное следствие: если известны сумма дуг и отношение хорд удвоенных дуг, то можно определить каждую из них.

64.  Сформулировано предложение: если на окружности с центром D (рис. 1-К) взяты дуги AB и AG, меньшие 180°, проведены радиус AD и хорда BG, продолжения которых пересекаются в точке E, то имеет место соотношение

      Crd 2GA/Crd 2AB = GE/BE .

65. Как следствие из предыдущего сформулирована теорема: если известны дуга GB, равная разности дуг AG и AB, и отношение хорд удвоенных этих дуг, то может быть определена и дуга AB.

Эти вспомогательные рассуждения Птолемея, которыми он завершает раздел плоской тригонометрии, сводятся по сути дела к двум леммам, которыми он
 
Приложения
476

пользуется далее для доказательства теоремы Менелая. В современной терминологии они имеют следующий вид.

      Лемма 1. Если заданы дуга (a + b) и отношение sin a/sin b, то этого достаточно для нахождения дуг a и b.

      Лемма 2. Если заданы дуга (a - b) и отношение  sin a/sin b, то этого достаточно для нахождения дуг a и b.

      Доказательство Птолемей, естественно, проводит с помощью тригонометрии хорд.

66. В этом предложении доказывается теорема Менелая для сферического случая.
Пусть на поверхности сферы дугами окружностей больших кругов образована фигура ABZG, причем каждая из этих дуг AB, BZ, ZG, AG меньше 180° (рис. 1.14). В теореме утверждается, что

      Crd 2GE/Crd 2EA = Crd 2GZ/Crd 2DZ · Crd 2DB/Crd 2BA ,
      Crd 2GA/Crd 2AE = Crd 2GD/Crd 2DZ · Crd 2ZB/Crd 2BE

Проведем из центра сферы H радиусы HB, HZ и соединим хордами точки A, D, G. Продолжим хорду AD и радиус HB до их пересечения в точке Q. Точку пересечения хорды DG и радиуса HZ обозначим через K, а точку пересечения хорды AG с радиусом HE — через L. Точки Q, K и A лежат одновременно в плоскости треугольника ADG и в плоскости круга HBZE, а следовательно, на одной прямой QKL.

Составленная прямыми QL, QA, GA и GD фигура QAGK представляет собой полный четырехсторонник плоской теоремы Менелая. Из нее следует

      GL/DA = GK/KD · QL/QA

Но, согласно второй из доказанных Птолемеем теорем, получим

      GL/DA = Crd 2GE/Crd 2EA, GK/KD = Crd 2GZ/Crd 2ZD .

Согласно же третьей теореме имеем

      DQ/QA =Crd 2DB/Crd 2BA ,

Отсюда
      Crd 2GE/Crd 2EA = Crd 2GZ/Crd 2ZD · Crd 2DB/Crd 2BA ,

что и требовалось доказать.  Птолемей замечает, что аналогично, с учетом соответству-
ющих предпосылок, доказанных выше, доказывается и второе утверждение теоремы. Полное его доказательство дал Теон в своих комментариях к «Альмагесту» [НАМА, р.26-30].
        Таким образом, сферическую теорему Менелая можно получить из плоской теоремы заменой каждого отрезка хордой соответствующей дуги большого круга (рис. 1-L) в виде

      Crd2AD/Crd 2CD · Crd 2CE/Crd 2BE · Crd 2BF/Crd 2BE = 1 ,
      Crd2AD/Crd 2CA · Crd 2BC/Crd 2BE · Crd 2EF/Crd 2DF = l.

или, если перейти от хорд к синусам,

      sin AD/sin СЕ · sin CE/sin BE · sin BF/sin AF = 1,
      sin AD/sin CA · sin BC/sin BE · sin EF/sin DF = 1.

Следует отметить, что и Птолемей, и Менелай, на доказательстве которого он основывается, и Теон Александрийский рассматривали только случай, когда прямые
 
Комментарии к книге первой
477

DA и BH (рис. 1.14) пересекаются. Однако они могут оказаться параллельными, и тогда требуется особое доказательство.
      Всестороннему исследованию сферическую теорему Менелая подвергли математики средневекового Востока, которые называли ее теоремой «о фигуре секущих» (шакл ал-кита). Обзор их доказательств см. [Матвиевская, 1990, с.83-92].
      Теорема Менелая о трансверсалях ю основа всех астрономических вычислений Птолемея,
связанных с решением сферических треугольников.

67. Главы 14-16 книги I и практически вся книга II «Альмагеста» представляют собой серию задач сферической астрономии, которые можно разбить на три основные группы:

      задачи по определению координат светил на небесной сфере и переходу от одной из трех принятых Птолемеем сферических систем координат к другой;
      задачи математической географии;
      задачи по определению положения эклиптики относительно горизонта и других больших кругов небесной сферы.
      Птолемей пользовался тремя системами сферических координат:

1)  горизонтальной, в которой положение светила на небесной сфере определяется его высотой h, отсчитываемой от круга горизонта по перпендикулярному ему кругу высоты, и азимутом A, отсчитываемому по горизонтальному кругу от меридианной линии (сейчас) или
от линии востокюзапад (у Птолемея);
2)   экваториальной, в которой координаты небесных тел — прямое восхождение a = YH, отсчитываемое по небесному экватору   от точки весеннего равноденствия Y,  и склонение d,  отсчитываемое от небесного экватора по перпендикулярному ему кругу с склонения (рис. 1-М);

3)  эклиптической, которая   использовалась для определения положений Солнца, Луны и планет в их движении по своим орбитам.   Координаты в этой системе — эклиптическая долгота l= YH, отсчитываемая вдоль эклиптики от точки весеннего равноденствия  Y в  направлении последовательности  знаков зодиака и эклиптическая широта b = NK, отсчитываемая по кругу широты, перпендикулярному к эклиптике, от точки его пересечения с эклиптикой (рис. 1-М).

В этой главе речь идет об определении склонения d точек эклиптики как функции d(l), где l — долгота точек эклиптики при данном, определенном описанным выше методом значении наклона эклиптики е.

В общем виде эта задача решалась с помощью теоремы Менелая. Пусть на рис. 1.15 EA — небесный экватор, EB — эклиптика, E ю точка весеннего равноденствия, B — точка летнего солнцестояния. По условию задачи требуется определить дугу QH = d, если известны дуга EH = l и угол Е = e.

Птолемей рассматривает полный сферический четырехсторонник ABZHEQ, образованный пересечением двух пар соответствующих дуг ZA и ZQ, EA и EB.

Согласно теореме Менелая,

      Crd ZB/ Crd AB = Crd ZH/Crd HQ · Crd EH/Crd EB

или, если учесть, что дуги ZB, ZH и EB содержат по 90°, и перейти от хорд к синусам, получим sin d = sin a sin e.

Птолемей не решает задачу в общем виде, а приводит два примера вычисления d по данной a.
Вначале он полагает дугу EH (эклиптическую долготу l) равной 30°. Тогда, так как дуга ZA равна 90°, удвоенная дуга 2ZA равна 180°, а соответствующая ей хорда 2ZA - 120p. Как найдено ранее, 2e = 2AB = 47;42,40°, а соответствующая хорда 2AB = 48;31,55p. По предположению, дуга 2ЕН = 60°. откуда хорда 2ЕН = 60p.
 
Приложения
478

Наконец, по определению точки летнего солнцестояния,  дуга  2EB = 180°,  откуда хорда 2EB= 120p.

Подставляя эти значения, Птолемей получает

      Crd 2ZQ/Crd 2QH · 60p/120p= 120p/48;31,55p

откуда

      Crd 2ZQ/Crd 2QH = 120p/24;15,57p

Так как 2ZQ = 180°, то хорда 2ZQ = 120Р. Отсюда хорда 2QH = 24; 15,57, а удвоенная дуга 2QH = 23; 19, 59°. Следовательно, склонение точки эклиптики с эклиптической долготой l = 30°, согласно Птолемею, есть  d = 11;40°. Аналогичным образом вычислена величина склонения точки эклиптики с эклиптической долготой l = 60°.

68.  Глава 15 содержит таблицу склонений точек эклиптики как функцию долготы l,   т.е. значения  функции  d(l),   вычисленные  через 1°  изменения  долготы l  по приведенному выше правилу. Эта таблица состоит из двух столбцов. Первый столбец называется «дуги [круга] через   середины [зодиакальных созвездий]»,   т.е. дуги эклиптики. Таким образом, ясно, что речь идет об эклиптической долготе А. Второй столбец  носит  название  «дуги  полуденного круга»,  т.е.  меридиана.  На самом  же деле речь идет о дугах не меридиана, а круга склонений.

Объяснить это можно следующим образом. Когда точка эклиптики с долготой l в результате суточного обращения небесной сферы оказывается в плоскости меридиана, то дуга, определяющая ее склонение, будет равна дуге меридиана, заключенной между соответствующей точкой эклиптики и точкой небесного экватора. Меридиан, таким образом, может использоваться для определения склонений точек эклиптики с долготой l. Второе возможное объяснение: название круга, перпендикулярного горизонту (меридиан), переносится на круг, перпендикулярный эклиптике, поскольку для последнего не существует особого названия; это следствие неразработанности терминологии.

Максимум значения d в таблице склонений Птолемея достигается в точке с долготой l = 90°. Он равен величине наклона эклиптики. Следуя Дж.Тумеру, мы внесли исправления в числовые данные этой таблицы, сделанные в результате тщательной проверки, пересчета и сопоставления с рукописями, недоступными издателю греческого текста, на котором основывался И.Н.Веселовский [РА, р.71, п.87 |.

Вопрос о происхождении птолемеевской таблицы склонений представляет определенные трудности. Как показали современные исследования, большинство значений d(l), зафиксированное в таблице, не может быть получено на основе таблицы хорд, приведенной в гл.11, методом, описанным Птолемеем. При вычислении табличных значений d(l) разность составляет (-2") - (+4") и носит периодический характер, что нельзя объяснить небрежностью Птолемея или ошибками переписчиков. Р. Ньютон предположил, что при вычислении птолемеевской таблицы склонений использовалась не его собственная таблица хорд, а какая-то более ранняя и более грубая. Б.Л.Ван-дер-Варден выдвинул предположение, что эта более ранняя таблица была вычислена в результате применения некоторого правила, эквивалентного рекурсивной формуле, основанной на теоремах Архимеда о свойствах ломаной в круге, и автором его был, вероятно, один из крупнейших математиков эпохи эллинизма Аполлоний Пергский (ок. 260-170 до н.э.). Это рекурсивное правило впоследствии стало известно в Индии и использовалось Ариабхатой I (475 н.э. — ?) при вычислении таблицы синусов [Waerden, 1988(1), р.31-37; 1988(2), р.181-183].

69. Временной  градус    (cronoi ishmerinoi, буквально «равноденственные, или экваториальные времена») — это интервал времени, равный 1/360 части суток, или 4m, вследствие  чего  и  получил  название  «градус». Эта астрономическая  единица имеет вавилонское происхождение. Как прямое восхождение а, так и времена восхода р  дуг  эклиптики на   различных широтах  определяются Птолемеем   при помощи временных градусов.
 
Комментарии к книге первой
479

70.  В гл.16 решается задача об определении времен восхода r(Dl) произвольных дуг эклиптики Dl = l2 - l1 в прямой сфере, т.е. на земном экваторе при f = 0 . Времена восхода дуг эклиптики в прямой сфере,  согласно Птолемею,  равняются временам прохождения этих же   дуг  через меридиан при суточном   обращении небесной сферы, причем последнее равенство выполняется для любой географической широты.

Птолемей сначала определяет времена восхода r(l) дуг эклиптики для случая, когда одна из крайних точек дуги совпадает с точкой весеннего равноденствия (l1=0), т.е., по сути дела, прямые восхождения a(l) точек эклиптики как функцию долготы l. Значения r(l) определяются им для фиксированных значений долготы l = 10°n, где n = 1, 2, ..., 9 (в тексте приводятся два примера вычисления r(l) для l = 30° и l = 60°), а затем составляется таблица разностей Да для соответствующих 10-градусных интервалов приращения долготы от 0° до 90°, определяющих времена восхода указанных интервалов.

71.  У Гейберга 56; 1,25; исправление Дж.Тумера  [РА, р.73, п.89].

72. При определении а как функции А Птолемей прибегает также к теореме Менелая. Полный сферический   четырехсторонник ABZHEQ,   представленный на рис. 1.16, позволяет записать следующее соотношение:

      Crd 2ZB/Crd 2AB = Crd 2ZH/Crd 2HQ · Crd 2EQ/Crd 2EA ,

в котором ZB = 90° - e, AB = e, ZH = 90° - d, HQ = d, EA = 90°, QE = a. Величина склонения d, присутствующая в этом уравнении, может быть получена по известной долготе l при помощи таблицы склонений гл.15; величина ее после этого определяется однозначно.

Таким образом, задачу по определению a(l) Птолемей решает в два этапа, причем оба раза с использованием теоремы Менелая; сначала он находит склонение d по правилу, эквивалентному формуле

      sin d = sin e sin l,

а затем a на основе соотношения

sin a = cos e/sin e · sin d/cos d

Двукратное применение теоремы Менелая связано с отсутствием функции тангенса в арсенале математических средств, которыми оперировали эллинистические астрономы [НАМА, p. 31-32].

73. Таблица времен восхода дуг эклиптики в прямой сфере приводится в «Альмагесте» дважды — в конце настоящей главы и в составе таблицы гл.8 кн. II в столбце «прямая сфера». С ее помощью могут быть вычислены прямые восхождения a точек эклиптики при произвольной долготе l. Величины a(l) при l ≠ 10° n определяются линейной интерполяцией между соседними значениями. Примеры вычисления a(l) см., например, в коммент. 31, 50, 70 к кн.IV и в коммент. 12, 110 к кн. V.