1/2 или 1/3 ? Анатомия одного обмана


Автор сообщения: dist
Дата и время сообщения: 25 October 2004 at 13:42:14:

Напоминаем задачу Micael'a:

У Вас есть три колпачка, под одним из которых спрятан шарик. Вы указываете на один из колпачков по Вашему выбору. Но ведущий (который знает, где находится шарик) никогда не открывает колпачок сразу. Вместо этого он открывает тот из двух оставшихся, под которым шарика нет. Затем Вам даётся опция - изменить свой выбор колпачка или оставить его в силе.

Вопрос: какая стратегия с точки зрения теории вероятности даёт Вам лучшие шансы на выигрыш:

а) оставить свой выбор
б) изменить выбор
в) нет разницы.

Формулировка условия лукава - она неоднозначна для выбора вероятностного пространства, а, значит, и для формулирования ответа.

Пусть колпачки пронумерованы, и, для определенности, выбираемый Вами колпачок имеет номер 1. Наличие шарика под колпачком обозначим 1, отсутствие - 0.

Имеется три равновероятные возможности:

100
010
001

Естественно, вероятность каждой из них - 1/3.

А вот затем начинаются махинации. Выбор у лохотронщика из двух колпачков - второй и третий. Отметим удаляемый колпачок символом х.

Тогда получаются следующие шесть равновероятных возможностей:

10х
1х0
01х
0х0
00х
01х

Поскольку ситуации 0х0 и 00х исключаются по условию, остается 4 ситуации, вероятности которых равны (см. выше), поэтому

10х
1х0

выигрышны для Вас, а

01х
0х1
- проигрышны.

Таким образом, вероятность выигрыша остается равной 1/2, о чем я сразу и сообщил (при условии СЛУЧАЙНОГО поведения лохотронщика).

Однако затем в условие вносится элемент волюнтаризма - оказывается, лохотронщик ведет себя случайным образом лишь в случае, если перед ним два пустых колпачка (ситуация 1), в остальных случаях он ведет себя вполне определенно.

Строго говоря, это уже не вероятностная постановка.

Фактически, выкидываемые при случайном розыгрыше ситуации 0х0 и 00х волюнтаристски заменяются на 0х1 и 01x, что равносильно подкладыванию шариков во все остальные колпачки, кроме выбранного Вами. Разумеется, это в два раза увеличивает соответствующие вероятности, и вероятности перераспределяются как 1/3 и 2/3, но абсолютно тупо для лохотронщика, даже честного. Ведь это равносильно тому, что он сразу скажет игроку, что во ВСЕ колпачки, кроме выбранного Вами, он положит шарики.

Тут и играть нечего. Только вот поверите ли вы такому 'честному' придурковатому лохотронщику? Конечно, нет.

Чтобы обеспечить ему честность, Вы попросите его удалиться из комнаты, чтобы он открыл оставшиеся для него два колпачка СЛУЧАЙНО.

В этом случае, если открытый колпачок пуст, вероятность того, что шарик в оставшемся - 1/2.

Итак, ясно, что ключевой является фраза:

вместо этого он открывает тот из двух оставшихся, под которым шарика нет.

Что она означает, решительно неясно.

Ведь если он открыл пустой колпачок, неясно, сделал он это случайно или преднамеренно.

Если случайно, то 1/2, если преднамеренно, то 1/3. Понятно, что определить это игроку нет решительно никакой возможности, поэтому формулировка условия, разумеется, некорректна.

Простительно гуманитарию Журавлеву, который АБСОЛЮТНО ничего не понял в задаче, но вот от математиков Майкла и Роджера, честно говоря, не ожидал.

Навешали короб лапши только начинающему входить в курс дела АнТюру.

Некрасиво.

Как откорректировать условие? Проще всего так.

Кладем под один из шариков миллион долларов. Ясно, что ставка слишком высока, чтобы лохотронщик мог позволить себе лохануться, поэтому игроки будут играть по очереди, и первый игрок, разумеется, не даст лохотронщику права открывать пустой колпачок ПРИ ЗНАНИИ, где находится лимон на самом деле, поэтому он заставит его выйти.

Тот, войдя после перетасовки, имеет вероятность выигрыша из двух шаров, естественно, 1/2.

И вот, если он открывает пустой колпачок, оставляет первого игрока в положение выбора.

Очевидно, что этот выбор тоже дает вероятность 1/2.

PS #1.

Если колпачков 100 штук, ситуация АБСОЮТНО такая же:

1хх:хх0
1хх:х0х
1хх:0хх
:
1х0:ххх
10х:ххх

99 возможностей выигрышных

01х:ххх
0х1:ххх
:
0хх:1хх
0хх:х1х
0хх:хх1

99 возможностей проигрышных.

Так что снова 1/2.

PS #2 для начинающего новичка Журавлева (не кфмн - пока).

Если известно, что при двух бросаниях монеты по крайней мере один раз выпал орел, то какова вероятность того, что орел выпал дважды? Ответ 1/3, а не 1/2:

Считаем все ситуации

11
10
01

Благоприятна - только первая.



1817. 1/2 или 1/3 ? Анатомия одного обмана - dist 13:42 25.10.04 (84)
К списку тем на странице